一維正態(tài)分布的函數(shù)定義：

型隨機(jī)變量的分布，第一參數(shù)μ是遵從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值，第二個(gè)參數(shù)σ2是此隨機(jī)變量的方差，所以正態(tài)分布記作N(μ，σ2 )。 遵從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率規(guī)律為取 μ鄰近的值的概率大 ，而取離μ越遠(yuǎn)的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正態(tài)分布的密度函數(shù)的特點(diǎn)是：關(guān)于μ對(duì)稱，在μ處達(dá)到最大值，在正（負(fù)）無窮遠(yuǎn)處取值為0，在μ±σ處有拐點(diǎn)。它的形狀是中間高兩邊低 ，圖像是一條位于x軸上方的鐘形曲線。當(dāng)μ＝0，σ2 ＝1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N（0，1）。

兩個(gè)常數(shù)的意義：μ-期望，σ^2 方差。

下面我們解決第一個(gè)疑問：高斯模糊濾鏡中的半徑是什么？答案是高斯半徑就是公式中的σ。

高斯曲線的圖形和半徑的含義如下圖（來自Adobe SDK中技術(shù)支持專家的文檔）所示：

可見高斯半徑（σ）對(duì)曲線形狀的影響，σ越小，曲線越高越尖，σ越大，曲線越低越平緩。對(duì)二維圖像來說，是一個(gè)鐘形曲面，高斯半徑越小，曲面越高越尖越陡峭；高斯半徑越大，曲面越低越平緩。因此高斯半徑越小，則模糊越小，高斯半徑越大，則模糊程度越大。我們將看到ps對(duì)高斯半徑的范圍定義是【0.1~250】。當(dāng)半徑為0.1時(shí)，高斯模板在計(jì)算后只有中間像素為1，其他像素均=0（實(shí)際上只是趨近0），即圖像不會(huì)有變化。

第二個(gè)疑問，高斯模板大小和高斯半徑的關(guān)系？這是一個(gè)一直困擾我們的誤解。因?yàn)槲覀兊乃季S進(jìn)入了物理實(shí)現(xiàn)的誤區(qū)。在物理實(shí)現(xiàn)中，高斯模板有界，從而使我們忽略了這個(gè)問題的真正答案：高斯模板在邏輯上是無邊界的。也就是說高斯模板本質(zhì)上是邏輯上無窮拓展曲面的一個(gè)近似。因此，模板大小我們應(yīng)該認(rèn)為它是無窮大的。只不過在計(jì)算的時(shí)候，因?yàn)樵谶h(yuǎn)處趨近0，因此在某個(gè)閾值之下我們不再考慮這些值，這個(gè)閾值就是模板邊界。

下面，二維高斯曲面的公式（x,y代表像素的模板坐標(biāo)，模板中心位置為原點(diǎn)）：

即：g(x,y)= ( 1 / (2*pi*σ^2) ) * exp( -(x^2+y^2)/(2*σ^2) ) ;

根據(jù)這個(gè)公式，我們可以計(jì)算出不同半徑下的高斯模板，實(shí)際上模板是無窮大的，只是在中心較遠(yuǎn)處，他們會(huì)趨近0.例如，我們計(jì)算出r=0.7時(shí)的一個(gè)歸一化后的高斯模板：

高斯模板（guass radius=0.700000）
//guass radius=0.700000
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
0.000000 0.000000 0.000001 0.000012 0.000033 0.000012 0.000001 0.000000 0.000000
0.000000 0.000001 0.000093 0.001976 0.005481 0.001976 0.000093 0.000001 0.000000
0.000000 0.000012 0.001976 0.042189 0.117046 0.042189 0.001976 0.000012 0.000000
0.000000 0.000033 0.005481 0.117046 0.324724 0.117046 0.005481 0.000033 0.000000
0.000000 0.000012 0.001976 0.042189 0.117046 0.042189 0.001976 0.000012 0.000000
0.000000 0.000001 0.000093 0.001976 0.005481 0.001976 0.000093 0.000001 0.000000
0.000000 0.000000 0.000001 0.000012 0.000033 0.000012 0.000001 0.000000 0.000000
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

在網(wǎng)絡(luò)上眾所周知流傳的高斯3*3模板實(shí)際上是對(duì)高斯曲面的一個(gè)整數(shù)除法形式的近似：

1 2 1

2 4 2 /16

1 2 1

實(shí)際驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)3*3模板實(shí)際上是對(duì)高斯半徑約為0.849時(shí)的一個(gè)近似，當(dāng)r=0.849時(shí)，其3*3歸一模板為（在MATLAB中，輸入h=fspecial('gaussian', 3, 0.849);即可得到這個(gè)模板）：

（guass radius=0.849000）
0.062467 0.125000 0.062467
0.125000 0.250131 0.125000
0.062467 0.125000 0.062467

然后我們可以用Matlab中的imfilter來對(duì)圖像進(jìn)行高斯模糊的處理：

img = imread('c:\demo.bmp');
h = fspecial('gaussian', 3, 0.849);
img2 = imfilter(img, h);
subplot(121), imshow(img); title('原圖')
subplot(122), imshow(img2); title('高斯模糊后')

效果如下：

我們可以在Matlab中用如下語句繪制高斯曲面：

繪制高斯曲面的Matlab代碼
%繪制高斯模糊曲面！--------------------
r=0.849; %高斯半徑（從0.1到250）
x=-3:0.2:3;
y=x;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=exp(-(X.^2+Y.^2)./(2*r*r))/(2*pi*r*r);
mesh(X,Y,Z)

效果如下圖：

在數(shù)字信號(hào)處理中，高斯模糊算法是一種濾波器，它的時(shí)域和頻域曲線如下所示：

從頻域曲線看出，高斯模糊本質(zhì)上一種低通濾波器。體現(xiàn)在圖像處理上，圖像的邊緣等灰度變化劇烈的地方對(duì)應(yīng)高頻信息，將被濾除。

最后，我們給出計(jì)算高斯模糊模板的C語言代碼，請(qǐng)注意，由于高斯模板是對(duì)稱的，實(shí)際上我們只需要計(jì)算出大約1/4模板即可。但這里的代碼我們沒有做這樣的優(yōu)化。我們輸出的模板是（2*N+1）*（2N+1），高斯半徑用r表示。

計(jì)算高斯模板
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#define N 3 /* 模板大小：(2N+1) * (2N+1) */
void main()
{
double a[2*N+1][2*N+1]; /* 高斯模板 */
double r=0.6; /* 高斯半徑：[ 0.1, 250] */
double A=1/(2*M_PI*r*r);
int i,j;
for(i=-1*N;i<=N;i++)
for(j=-1*N;j<=N;j++)
a[i+N][j+N]=A*exp((-1)*(i*i+j*j)/ (2*r*r));
}

同時(shí)，作為比較，我們給出在Matlab中生成高斯模板的代碼（fspecial的代碼局部，其中p3是第三個(gè)參數(shù)即高斯半徑）：

  case 'gaussian' % Gaussian filter

     siz   = (p2-1)/2;  %注：p2即模板邊長(zhǎng)，默認(rèn)值為33
     std   = p3;        %注：p3即高斯半徑，默認(rèn)為為0.5
     
     [x,y] = meshgrid(-siz(2):siz(2),-siz(1):siz(1));
     arg   = -(x.*x + y.*y)/(2*std*std);

     h     = exp(arg);
     h(h<eps*max(h(:))) = 0;

     sumh = sum(h(:));  %注：模板歸一化
     if sumh ~= 0,
       h  = h/sumh;
     end;

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